九章算术

《九章算术》西汉数学专著,张苍(约公元前250—前152,经历了秦、汉两个朝代,高帝六年(公元前201年)受封为北平侯。)、耿寿昌(西汉人,宣帝时,为大司农中丞),通过对中国古代的数学作品做了总结和归纳,编订完成了《九章算术》。

昔在庖犠氏始画八卦,以通神明之德,以类万物之情,作九九之数,以合六爻之变。暨于黄帝神而化之,引而伸之,于是建历纪,协律吕,用稽道原,然后两仪四象精微之气可得而效焉。记称隶首作数,其详未之闻也。按周公制礼而有九数,九数之流,则《九章》是矣。往者暴秦焚书,经术散坏。自时厥后,汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。苍等因旧文之遗残,各称删补。故校其目则与古或异,而所论者多近语也。徽幼习《九章》,长再详览。观阴阳之割裂,总算术之根源,探赜之暇,遂悟其意。是以敢竭顽鲁,采其所见,为之作注。事类相推,各有攸归,故枝条虽分而同本榦知,发其一端而已。又所析理以辞,解体用图,庶亦约而能周,通而不黩,览之者思过半矣。且算在六艺,古者以宾兴贤能,教习国子;虽曰九数,其能穷纤入微,探测无方;至于以法相传,亦犹规矩度量可得而共,非特难为也。当今好之者寡,故世虽多通才达学,而未必能综于此耳。《周官·大司徒》职,夏至日中立八尺之表。其景尺有五寸,谓之地中。说云,南戴日下万五千里。夫云尔者,以术推之。案:《九章》立四表望远及因木望山之术,皆端旁互见,无有超邈若斯之类。然则苍等为术犹未足以博尽群数也。徽寻九数有重差之名,原其指趣乃所以施于此也。凡望极高、测绝深而兼知其远者必用重差、句股,则必以重差为率,故曰重差也。立两表于洛阳之城,令高八尺,南北各尽平地。同日度其正中之时。以景差为法,表高乘表间为实,实如法而一。所得加表高,即日去地也。以南表之景乘表间为实,实如法而一,即为从南表至南戴日下也。以南戴日下及日去地为句、股,为之求弦,即日去人也。以径寸之筒南望日,日满筒空,则定筒之长短以为股率,以筒径为句率,日去人之数为大股,大股之句即日径也。虽夫圆穹之象犹曰可度,又况泰山之高与江海之广哉。徽以为今之史籍且略举天地之物,考论厥数,载之于志,以阐世术之美,辄造《重差》,并为注解,以究古人之意,缀于句股之下。度高者重表,测深者累矩,孤离者三望,离而又旁求者四望。触类而长之,则虽幽遐诡伏,靡所不入,博物君子,详而览焉。

卷一

○方田(以御田畴界域)

今有田广十五步,从十六步。问为田几何?答曰:一亩。

又有田广十二步,从十四步。问为田几何?答曰:一百六十八步。

〔图:从十四,广十二。〕

方田 术曰:广从步数相乘得积步。

〔此积谓田幂。凡广从相乘谓之幂。

淳风等按:经云广从相乘得积步,注云广从相乘谓之幂。观斯注意,积幂义同。以理推之,固当不尔。何则?幂是方面单布之名,积乃众数聚居之称。循名责实,二者全殊。虽欲同之,窃恐不可。今以凡言幂者据广从之一方;其言积者举众步之都数。经云相乘得积步,即是都数之明文。注云谓之为幂,全乖积步之本意。此注前云积为田幂,于理得通。复云谓之为幂,繁而不当。今者注释,存善去非,略为料简,遗诸后学。〕

以亩法二百四十步除之,即亩数。百亩为一顷。

〔淳风等按:此为篇端,故特举顷、亩二法。余术不复言者,从此可知。一亩之田,广十五步,从而疏之,令为十五行,则每行广一步而从十六步。又横而截之,令为十六行,则每行广一步而从十五步。此即从疏横截之步,各自为方,凡有二百四十步。一亩之地,步数正同。以此言之,则广从相乘得积步,验矣。二百四十步者,亩法也;百亩者,顷法也。故以除之,即得。〕

今有田广一里,从一里。问为田几何?答曰:三顷七十五亩。

又有田广二里,从三里。问为田几何?答曰:二十二顷五十亩。

里田 术曰:广从里数相乘得积里。以三百七十五乘之,即亩数。

〔按:此术广从里数相乘得积里。方里之中有三顷七十五亩,故以乘之,即得亩数也。〕

今有十八分之十二,问约之得几何?答曰:三分之二。

又有九十一分之四十九,问约之得几何?答曰:十三分之七。

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