九章算术

卷四

○少广(以御积幂方圆)

少广

〔淳风等按:一亩之田,广一步,长二百四十步。今欲截取其从少,以益其广,故曰少广。〕

术曰:置全步及分母子,以最下分母遍乘诸分子及全步,

〔淳风等按:以分母乘全步者,通其分也;以母乘子者,齐其子也。〕

各以其母除其子,置之于左,命通分者,又以分母遍乘诸分子及已通者,皆

通而同之。并之为法。

〔淳风等按:诸子悉通,故可并之为法。亦宜用合分术,列数尤多,若用乘则算数至繁,故别制此术,从省约。〕

置所求步数,以全步积分乘之为实。

〔此以田广为法,以亩积步为实。法有分者,当同其母,齐其子,以同乘法实,而并齐于法。今以分母乘全步及子,子如母而一,并以并全法,则法实俱长,意亦等也。故如法而一,得从步数。〕

实如法而一,得从步。

今有田广一步半。求田一亩,问从几何?答曰:一百六十步。

术曰:下有半,是二分之一。以一为二,半为一,并之,得三,为法。置田二百四十步,亦以一为二乘之,为实。实如法得从步。

今有田广一步半、三分步之一。求田一亩,问从几何?答曰:一百三十步一十一分步之一十。

术曰:下有三分,以一为六,半为三,三分之一为二,并之,得一十一,为法。置田二百四十步,亦以一为六乘之,为实。实如法得从步。

今有田广一步半、三分步之一、四分步之一。求田一亩,问从几何?答曰:

一百一十五步五分步之一。

术曰:下有四分,以一为一十二,半为六,三分之一为四,四分之一为三,并之,得二十五,以为法。置田二百四十步,亦以一为一十二乘之,为实。实如法而一,得从步。

今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一。求田一亩,问从几何?答曰:一百五步一百三十七分步之一十五。

术曰:下有五分,以一为六十,半为三十,三分之一为二十,四分之一为一十五,五分之一为一十二,并之,得一百三十七,以为法。置田二百四十步,亦以一为六十乘之,为实。实如法得从步。

今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一。求田一亩,问从几何?答曰:九十七步四十九分步之四十七。

术曰:下有六分,以一为一百二十,半为六十,三分之一为四十,四分之一为三十,五分之一为二十四,六分之一为二十,并之,得二百九十四,以为法。

置田二百四十步,亦以一为一百二十乘之,为实。实如法得从步。

今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一。求田一亩,问从几何?答曰:九十二步一百二十一分步之六十八。

术曰:下有七分,以一为四百二十,半为二百一十,三分之一为一百四十,四分之一为一百五,五分之一为八十四,六分之一为七十,七分之一为六十,并

之,得一千八十九,以为法。置田二百四十步,亦以一为四百二十乘之,为实。实如法得从步。今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一。求田一亩,问从几何?答曰:八十八步七百六十一分步之二百三十二。

术曰:下有八分,以一为八百四十,半为四百二十,三分之一为二百八十,四分之一为二百一十,五分之一为一百六十八,六分之一为一百四十,七分之一为一百二十,八分之一为一百五,并之,得二千二百八十三,以为法。置田二百四十步,亦以一为八百四十乘之,为实。实如法得从步。

今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一。求田一亩,问从几何?答曰:八十四步七千一百二十九分步之五千九百六十四。

术曰:下有九分,以一为二千五百二十,半为一千二百六十,三分之一为八四十,四分之一为六百三十,五分之一为五百四,六分之一为四百二十,七分之一为三百六十,八分之一为三百一十五,九分之一为二百八十,并之,得七千一百二十九,以为法。置田二百四十步,亦以一为二千五百二十乘之,为实。实

如法得从步。

今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一。求田一亩、问从几何?答曰:

八十一步七千三百八十一分步之六千九百三十九。

术曰:下有一十分,以一为二千五百二十,半为一千二百六十,三分之一为八百四十,四分之一为六百三十,五分之一为五百四,六分之一为四百二十,七分之一为三百六十,八分之一为三百一十五,九分之一为二百八十,十分之一为二百五十二,并之,得七千三百八十一,以为法。置田二百四十步,亦以一为二

千五百二十乘之,为实。实如法得从步。

今有田广一步半、三分步之一、四分之步一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一、十一分步之一。求田一亩,问从几何?答曰:七十九步八万三千七百一十一分步之三万九千六百三十一。

术曰:下有一十一分,以一为二万七千七百二十,半为一万三千八百六十,三分之一为九千二百四十,四分之一为六千九百三十,五分之一为五千五百四十四,六分之一为四千六百二十,七分之一为三千九百六十,八分之一为三千四百六十五,九分之一为三千八十,一十分之一为二千七百七十二,一十一分之一为

二千五百二十,并之,得八万三千七百一十一,以为法。置田二百四十步,亦以一为二万七千七百二十乘之,为实。实如法得从步。

今有田广一步半、三分步之一、四分步之一,五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一、十一分步之一、十二分步之一。求田一亩,问从几何?答曰:七十七步八万六千二十一分步之二万九千一百八十三。

术曰:下有一十二分,以一为八万三千一百六十,半为四万一千五百八十,三分之一为二万七千七百二十,四分之一为二万七百九十,五分之一为一万六千六百三十二,六分之一为一万三千八百六十,七分之一为一万一千八百八十,八分之一为一万三百九十五,九分之一为九千二百四十,一十分之一为八千三百一十六,十一分之一为七千五百六十,十二分之一为六千九百三十,并之,得二十五万八千六十三,以为法。置田二百四十步,亦以一为八万三千一百六十乘之,为实。实如法得从步。

〔淳风等按:凡为术之意,约省为善。宜云“下有一十二分,以一为二万七千七百二十,半为一万三千八百六十,三分之一为九千二百四十,四分之一为六千九百三十,五分之一为五千五百四十四,六分之一为四千六百二十,七分之一为三千九百六十,八分之一为三千四百六十五,九分之一为三千八十,十分之一为二千七百七十二,十一分之一为二千五百二十,十二分之一为二千三百一十,并之,得八万六千二十一,以为法。置田二百四十步,亦以一为二万七千七百二十乘之,以为实。实如法得从步。”其术亦得知,不繁也。〕

今有积五万五千二百二十五步,问为方几何?答曰:二百三十五步。

又有积二万五千二百八十一步,问为方几何?答曰:一百五十九步。

又有积七万一千八百二十四步,问为方几何?答曰:二百六十八步。

又有积五十六万四千七百五十二步四分步之一,问为方几何?答曰:七百五十一步半。

又有积三十九亿七千二百一十五万六百二十五步,问为方几何?答曰:六万三千二十五步。

○开方

〔求方幂之一面也。〕

术曰:置积为实。借一算,步之,超一等。

〔言百之面十也。言万之面百也。〕

议所得,以一乘所借一算为法,而以除。

〔先得黄甲之面,上下相命,是自乘而除也。〕

除已,倍法为定法。

〔倍之者,豫张两面朱幂定袤,以待复除,故曰定法。〕

其复除,折法而下。

〔欲除朱幂者,本当副置所得成方,倍之为定法,以折、议、乘,而以除。如是当复步之而止,乃得相命。故使就上折下。〕

复置借算,步之如初。以复议一乘之,

〔欲除朱幂之角黄乙之幂,其意如初之所得也。〕

所得副以加定法,以除。以所得副从定法。

〔再以黄乙之面加定法者,是则张两青幂之袤。〕

复除,折下如前。若开之不尽者,为不可开,当以面命之。

〔术或有以借算加定法而命分者,虽粗相近,不可用也。凡开积为方,方之自乘当还复有积分。令不加借算而命分,则常微少;其加借算而命分,则又微多。其数不可得而定。故惟以面命之,为不失耳。譬犹以三除十,以其余为三分之一,而复其数可以举。不以面命之,加定法如前,求其微数。微数无名者以为分子,其一退以十为母,其再退以百为母。退之弥下,其分弥细,则朱幂虽有所弃之数,不足言之也。〕

若实有分者,通分内子为定实,乃开之。讫,开其母,报除。

〔淳风等按:分母可开者,并通之积先合二母。既开之后,一母尚存,故开分母,求一母为法,以报除也。〕

若母不可开者,又以母乘定实,乃开之。讫,令如母而一。

〔淳风等按:分母不可开者,本一母也。又以母乘之,乃合二母。既开之后,亦一母存焉,故令一母而一,得全面也。又按:此术“开方”者,求方幂之面也。借一算者,假借一算,空有列位之名,而无除积之实。方隅得面,是故借算列之于下。“步之超一等”者,方十自乘,其积有百,方百自乘,其积有万,故超位,至百而言十,至万而言百。“议所得,以一乘所借算为法,而以除”者,先得黄甲之面,以方为积者两相乘,故开方除之,还令两面上下相命,是自乘而除之。“除已,倍法为定法”者,实积未尽,当复更除,故豫张两面朱幂袤,以待复除,故曰定法。“其复除,折法而下”者,欲除朱幂,本当副置所得成方,倍之为定法,以折、议、乘之,而以除,如是,当复步之而止,乃得相命。故使就上折之而下。“复置借算,步之如初,以复议一乘之,所得副以加定法,以定法除”者。欲除朱幂之角黄乙之幂。“以所得副从定法”者,再以黄乙之面加定法,是则张两青幂之袤,故如前开之,即合所问。〕

今有积一千五百一十八步四分步之三。问为圆周几何?答曰:一百三十五步。

〔于徽术,当周一百三十八步一十分步之一。

淳风等按:此依密率,为周一百三十八步五十分步之九。〕

又有积三百步,问为圆周几何?答曰:六十步。

〔于徽术,当周六十一步五十分步之十九。

淳风等按:依密率,为周六十一步一百分步之四十一。〕

开圆 术曰:置积步数,以十二乘之,以开方除之,即得周。

〔此术以周三径一为率,与旧圆田术相返覆也。于徽术,以三百一十四乘积,如二十五而一,所得,开方除之,即周也。开方除之,即径。是为据见幂以求周,犹失之于微少。其以二百乘积,一百五十七而一,开方除之,即径,犹失之于微多。

淳风等按:此注于徽术求周之法,其中不用“开方除之,即径”六字,今本有者,衍剩也。依密率,八十八乘之,七而一。按周三径一之率,假令周六径二,半周半径相乘得幂三,周六自乘得三十六。俱以等数除幂,得一周之数十二也。其积:本周自乘,合以一乘之,十二而一,得积三也。术为一乘不长,故以十二而一,得此积。今还原,置此积三,以十二乘之者,复其本周自乘之数。凡物自乘,开方除之,复其本数,故开方除之,即周。〕

今有积一百八十六万八百六十七尺,

〔此尺谓立方尺也。凡物有高、深而言积者,曰立方。〕

问为立方几何?答曰:一百二十三尺。

又有积一千九百五十三尺八分尺之一,问为立方几何?答曰:一十二尺半。

又有积六万三千四百一尺五百一十二分尺之四百四十七,问为立方几何?答曰:三十九尺八分尺之七。

又有积一百九十三万七千五百四十一尺二十七分尺之一十七,问为立方几何?

答曰:一百二十四尺太半尺。

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