九章算术

今有堑堵,下广二丈,袤一十八丈六尺,高二丈五尺。问积几何?答曰:四万六千五百尺。

术曰:广袤相乘,以高乘之,二而一。

〔邪解立方,得两堑堵。虽复橢方,亦为堑堵。故二而一。此则合所规棋。推其物体,盖为堑上叠也。其形如城,而无上广,与所规棋形异而同实。未闻所以名之为堑堵之说也。〕

今有阳马,广五尺,袤七尺,高八尺。问积几何?答曰:九十三尺少半尺。

术曰:广袤相乘,以高乘之,三而一。

〔按:此术阳马之形,方锥一隅也。今谓四柱屋隅为阳马。假令广袤各一尺,

高一尺,相乘,得立方积一尺。邪解立方,得两堑堵;邪解堑堵,其一为阳马,

一为鳖臑。阳马居二,鳖臑居一,不易之率也。合两鳖臑成一阳马,合三阳马而

成一立方,故三而一。验之以棋,其形露矣。悉割阳马,凡为六鳖臑。观其割分,

则体势互通,盖易了也。其棋或修短、或广狭、立方不等者,亦割分以为六鳖臑。

其形不悉相似。然见数同,积实均也。鳖臑殊形,阳马异体。然阳马异体,则不

纯合。不纯合,则难为之矣。何则?按:邪解方棋以为堑堵者,必当以半为分;

邪解堑堵以为阳马者,亦必当以半为分,一从一横耳。设以阳马为分内,鳖臑为

分外。棋虽或随修短广狭,犹有此分常率知,殊形异体,亦同也者,以此而已。

其使鳖臑广、袤、高各二尺,用堑堵、鳖臑之棋各二,皆用赤棋。又使阳马之广、

袤、高各二尺,用立方之棋一,堑堵、阳马之棋各二,皆用黑棋。棋之赤、黑,

接为堑堵,广、袤、高各二尺。于是中攽其广、袤,又中分其高。令赤、黑堑堵

各自适当一方,高一尺,方一尺,每二分鳖臑,则一阳马也。其余两端各积本体,

合成一方焉。是为别种而方者率居三,通其体而方者率居一。虽方随棋改,而固

有常然之势也。按:余数具而可知者有一、二分之别,则一、二之为率定矣。其

于理也岂虚矣。若为数而穷之,置余广、袤、高之数,各半之,则四分之三又可

知也。半之弥少,其余弥细,至细曰微,微则无形。由是言之,安取余哉?数而

求穷之者,谓以情推,不用筹算。鳖臑之物,不同器用;阳马之形,或随修短广

狭。然不有鳖臑,无以审阳马之数,不有阳马,无以知锥亭之数,功实之主也。〕

今有鳖臑,下广五尺,无袤;上袤四尺,无广;高七尺。问积几何?答曰:

二十三尺少半尺。

术曰:广袤相乘,以高乘之,六而一。

〔按:此术臑者,臂节也。或曰:半阳马,其形有似鳖肘,故以名云。中破

阳马,得两鳖臑。鳖臑之见数即阳马之半数。数同而实据半,故云六而一,即得。〕

今有羡除,下广六尺,上广一丈,深三尺;末广八尺,无深;袤七尺。问积

几何?答曰:八十四尺。

术曰:并三广,以深乘之,又以袤乘之,六而一。

〔按:此术羡除,实隧道也。其所穿地,上平下邪,似两鳖臑夹一堑堵,即

羡除之形。假令用此棋:上广三尺,深一尺,下广一尺;末广一尺,无深;袤一

尺。下广、末广皆堑堵之广。上广者,两鳖臑与一堑堵相连之广也。以深、袤乘,

得积五尺。鳖臑居二,堑堵居三,其于本棋皆一为六,故六而一。合四阳马以为

方锥。邪画方锥之底,亦令为中方。就中方削而上合,全为中方锥之半。于是阳

马之棋悉中解矣。中锥离而为四鳖臑焉。故外锥之半亦为四鳖臑。虽背正异形,

与常所谓鳖臑参不相似,实则同也。所云夹堑堵者,中锥之鳖臑也。凡堑堵上袤

短者,连阳马也。下袤短者,与鳖臑连也。上、下两袤相等知,亦与鳖臑连也。

并三广,以高、袤乘,六而一,皆其积也。今此羡除之广即堑堵之袤也。 按:

此本是三广不等,即与鳖臑连者。别而言之:中央堑堵广六尺,高三尺,袤七尺。

末广之两旁,各一小鳖臑,皆与堑堵等。令小鳖臑居里,大鳖臑居表,则大鳖臑

皆出橢方锥:下广二尺,袤六尺,高七尺。分取其半,则为袤三尺。以高、广乘

之,三而一,即半锥之积也。邪解半锥得此两大鳖臑。求其积,亦当六而一,合

于常率矣。按:阳马之棋两邪,棋底方。当其方也,不问旁角而割之,相半可知

也。推此上连无成不方,故方锥与阳马同实。角而割之者,相半之势。此大小鳖

臑可知更相表里,但体有背正也。〕

今有刍甍,下广三丈,袤四丈;上袤二丈,无广;高一丈。问积几何?答曰:

五千尺。

术曰:倍下袤,上袤从之,以广乘之,又以高乘之,六而一。

〔推明义理者:旧说云:“凡积刍有上下广曰童,甍,谓其屋盖之苫也。”

是故甍之下广、袤与童之上广、袤等。正解方亭两边,合之即刍甍之形也。假令

下广二尺,袤三尺;上袤一尺,无广;高一尺。其用棋也,中央堑堵二,两端阳

马各二。倍下袤,上袤从之,为七尺。以下广乘之,得幂十四尺。阳马之幂各居

二,堑堵之幂各居三。以高乘之,得积十四尺。其于本棋也,皆一而为六。故六

而一,即得。亦可令上下袤差乘广,以高乘之,三而一,即四阳马也;下广乘上

袤而半之,高乘之,即二堑堵;并之,以为甍积也。〕

刍童、曲池、盘池、冥谷皆同术。

术曰:倍上袤,下袤从之;亦倍下袤,上袤从之;各以其广乘之,并,以高

若深乘之,皆六而一。

〔按:此术假令刍童上广一尺,袤二尺;下广三尺,袤四尺;高一尺。其用

棋也,中央立方二,四面堑堵六,四角阳马四。倍下袤为八,上袤从之,为十,

以高、广乘之,得积三十尺。是为得中央立方各三,两端堑堵各四,两旁堑堵各

六,四角阳马亦各六。复倍上袤,下袤从之,为八,以高、广乘之,得积八尺。

是为得中央立方亦各三,两端堑堵各二。并两旁,三品棋皆一而为六。故六而一,

即得。 为术又可令上下广袤差相乘,以高乘之,三而一,亦四阳马;上下广袤

互相乘,并,而半之,以高乘之,即四面六堑堵与二立方;并之,为刍童积。又

可令上下广袤互相乘而半之,上下广袤又各自乘,并,以高乘之,三而一,即得

也。〕

其曲池者,并上中、外周而半之,以为上袤;亦并下中、外周而半之,以为

下袤。

〔此池环而不通匝,形如盘蛇,而曲之。亦云周者,谓如委谷依垣之周耳。

引而伸之,周为袤。求袤之意,环田也。〕

今有刍童,下广二丈,袤三丈;上广三丈,袤四丈;高三丈。问积几何?答

曰:二万六千五百尺。

今有曲池,上中周二丈,外周四丈,广一丈;下中周一丈四尺,外周二丈四

尺,广五尺;深一丈。问积几何?答曰:一千八百八十三尺三寸少半寸。

今有盘池,上广六丈,袤八丈;下广四丈,袤六丈,深二丈。问积几何?答

曰:七万六百六十六尺太半尺。

负土往来七十步,其二十步上下棚除,棚除二当平道五;踟蹰之间十加一;

载输之间三十步,定一返一百四十步。土笼积一尺六寸。秋程人功行五十九里半。

问人到积尺及用徒各几何?答曰:人到二百四尺。用徒三百四十六人一百五十三

分人之六十二。

术曰:以一笼积尺乘程行步数,为实。往来上下棚除二当平道五。

〔棚,阁;除,斜道;有上下之难,故使二当五也。〕

置定往来步数,十加一,及载输之间三十步,以为法。除之,所得即一人所

到尺。以所到约积尺,即用徒人数。

〔按:此术棚,阁;除,斜道;有上下之难,故使二当五。置定往来步数,

十加一,及载输之间三十步,是为往来一返凡用一百四十步。于今有术为所有率,

笼积一尺六寸为所求率,程行五十九里半为所有数,而今有之,即所到尺数。以

所到约积尺,即用徒人数者,此一人之积除其众积尺,故得用徒人数。 为术又

可令往来一返所用之步约程行为返数,乘笼积为一人所到。 以此术与今有术相

反覆,则乘除之或先后,意各有所在而同归耳。〕

今有冥谷,上广二丈,袤七丈;下广八尺,袤四丈;深六丈五尺。问积几何?

答曰:五万二千尺。

载土往来二百步,载输之间一里。程行五十八里;六人共车,车载三十四尺

七寸。问人到积尺及用徒各几何?答曰:人到二百一尺五十分尺之十三。用徒二

百五十八人一万六十三分人之三千七百四十六。

术曰:以一车积尺乘程行步数,为实。置今往来步数,加载输之间一里,以

车六人乘之,为法。除之,所得即一人所到尺。以所到约积尺,即用徒人数。

〔按:此术今有之义。以载输及往来并得五百步,为所有率,车载三十四尺

七寸为所求率,程行五十八里,通之为步,为所有数,而今有之,所得即一车所

到。欲得人到者,当以六人除之,即得。术有分,故亦更令乘法而并除者,亦用

以车尺数以为一人到土率,六人乘五百步为行率也。又亦可五百步为行率,令六

人约车积尺数为一人到土率,以负土术入之。入之者,亦可求返数也。要取其会

通而已。术恐有分,故令乘法而并除。以所到约积尺,即用徒人数者,以一人所

到积尺除其众积,故得用徒人数也。〕

今有委粟平地,下周一十二丈,高二丈。问积及为粟几何?答曰:积八千尺。

〔于徽术,当积七千六百四十三尺一百五十七分尺之四十九。

淳风等按:依密率,为积七千六百三十六尺十一分尺之四。〕

为粟二千九百六十二斛二十七分斛之二十六。

〔于徽术,当粟二千八百三十斛一千四百一十三分斛之一千二百一十。

淳风等按:依密率,为粟二千八百二十八斛九十九分斛之二十八。〕

今有委菽依垣,下周三丈,高七尺。问积及为菽各几何?答曰:积三百五十

尺。

〔依徽术,当积三百三十四尺四百七十一分尺之一百八十六。

淳风等按:依密率,为积三百三十四尺十一分尺之一。〕

为菽一百四十四斛二百四十三分斛之八。

〔依徽术,当菽一百三十七斛一万二千七百一十七分斛之七千七百七十一。

淳风等按:依密率,为菽一百三十七斛八百九十一分斛之四百三十三。〕

今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺。问积及为米各几何?答曰:积三十

五尺九分尺之五。

〔于徽术,当积三十三尺四百七十一分尺之四百五十七。

淳风等按:依密率,当积三十三尺三十三分尺之三十一。〕

为米二十一斛七百二十九分斛之六百九十一。

〔于徽术,当米二十斛三万八千一百五十一分斛之三万六千九百八十。

淳风等按:依密率,为米二十斛二千六百七十三分斛之二千五百四十。〕

委粟 术曰:下周自乘,以高乘之,三十六而一。

〔此犹圆锥也。于徽术,亦当下周自乘,以高乘之,又以二十五乘之,九百

四十二而一也。〕

其依垣者,

〔居圆锥之半也。〕

十八而一。

〔于徽术,当令此下周自乘,以高乘之,又以二十五乘之,四百七十一而一。

依垣之周,半于全周。其自乘之幂居全周自乘之幂四分之一,故半全周之法以为

法也。〕

其依垣内角者,

〔角,隅也,居圆锥四分之一也。〕

九而一。

〔于徽术,当令此下周自乘,而倍之,以高乘之,又以二十五乘之,四百七

十一而一。依隅之周,半于依垣。其自乘之幂居依垣自乘之幂四分之一,当半依

垣之法以为法。法不可半,故倍其实。又此术亦用周三径一之率。假令以三除周,

得径;若不尽,通分内子,即为径之积分。令自乘,以高乘之,为三方锥之积分。

母自相乘得九,为法,又当三而一,得方锥之积。从方锥中求圆锥之积,亦犹方

幂求圆幂。乃当三乘之,四而一,得圆锥之积。前求方锥积,乃以三而一;今求

圆锥之积,复合三乘之。二母既同,故相准折。惟以四乘分母九,得三十六而连

除,圆锥之积。其圆锥之积与平地聚粟同,故三十六而一。

淳风等按:依密率,以七乘之,其平地者,二百六十四而一;依垣者,一百

三十二而一;依隅者,六十六而一也。〕

程粟一斛积二尺七寸;

〔二尺七寸者,谓方一尺,深二尺七寸,凡积二千七百寸。〕

其米一斛积一尺六寸五分寸之一;

〔谓积一千六百二十寸。〕

其菽、荅、麻、麦一斛皆二尺四寸十分寸之三。

〔谓积二千四百三十寸。此为以精粗为率,而不等其概也。粟率五,米率三,

故米一斛于粟一斛,五分之三;菽、荅、麻、麦亦如本率云。故谓此三量器为概,

而皆不合于今斛。当今大司农斛,圆径一尺三寸五分五厘,正深一尺,于徽术,

为积一千四百四十一寸,排成余分,又有十分寸之三。王莽铜斛于今尺为深九寸

五分五厘,径一尺三寸六分八厘七毫。以徽术计之,于今斛为容九斗七升四合有

奇。《周官·考工记》:朅氏为量,深一尺,内方一尺而圆外,其实一釜。于徽

术,此圆积一千五百七十寸。《左氏传》曰:“齐旧四量:豆、区、釜、钟。四

升曰豆,各自其四,以登于釜。釜十则钟。”钟六斛四斗。釜六斗四升,方一尺,

深一尺,其积一千寸。若此方积容六斗四升,则通外圆积成旁,容十斗四合一龠

五分龠之三也。以数相乘之,则斛之制:方一尺而圆其外,庣旁一厘七毫,幂一

百五十六寸四分寸之一,深一尺,积一千五百六十二寸半,容十斗。王莽铜斛与

《汉书·律历志》所论斛同。〕

今有仓,广三丈,袤四丈五尺,容粟一万斛。问高几何?答曰:二丈。

术曰:置粟一万斛积尺为实。广、袤相乘为法。实如法而一,得高尺。

〔以广袤之幂除积,故得高。按:此术本以广袤相乘,以高乘之,得此积。

今还元,置此广袤相乘为法,除之,故得高也。〕

今有圆囷,

〔圆囷,廪也,亦云圆囤也。〕

高一丈三尺三寸少半寸,容米二千斛。问周几何?答曰:五丈四尺。

〔于徽术,当周五丈五尺二寸二十分寸之九。

淳风等按:依密率,为周五丈五尺一百分尺之二十七。〕

术曰:置米积尺,

〔此积犹圆堡昪之积。〕

以十二乘之,令高而一。所得,开方除之,即周。

〔于徽术,当置米积尺,以三百一十四乘之,为实。二十五乘囷高为法。所

得,开方除之,即周也。此亦据见幂以求周,失之于微少也。晋武库中有汉时王

莽所作铜斛,其篆书字题斛旁云:律嘉量斛,方一尺而圆其外,庣旁九厘五毫,

幂一百六十二寸;深一尺,积一千六百二十寸,容十斗。及斛底云:律嘉量斗,

方尺而圆其外,庣旁九厘五毫,幂一尺六寸二分。深一寸,积一百六十二寸,容

一斗。合、龠皆有文字。升居斛旁,合、龠在斛耳上。后有赞文,与今律历志同,

亦魏晋所常用。今粗疏王莽铜斛文字、尺、寸、分数,然不尽得升、合、勺之文

字。按:此术本周自相乘,以高乘之,十二而一,得此积。今还元,置此积,以

十二乘之,令高而一,即复本周自乘之数。凡物自乘,开方除之,复其本数。故

开方除之,即得也。

淳风等按:依密率,以八十八乘之,为实。七乘囷高为法。实如法而一。开

方除之,即周也。〕

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2023-12-16 16:09:30

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